分数区間を用いた、浮動小数点数の区間包含についてのアイデア
分数区間を用いた、浮動小数点数の区間包含について
python 3.5.1で動作を確認
区間演算の実装について(2)をpython上解決する場合のアイデア。
いろいろと検証が足りていないが公開はする。
jupyter notebook用のコードもアップロードした。
import pint as pn from pint import roundfloat as rf from pint import roundmode as rdm import fractions
def frac_interval_proto(a): aH, aL = rf.split(a) if aL ==0: answer = pn.interval(a) else: aS = rf.succ(a) aP = rf.pred(a) aS_c, aS_p = aS.as_integer_ratio() aP_c, aP_p = aP.as_integer_ratio() a_c, a_p = a.as_integer_ratio() bS_c = a_c * aS_p + aS_c * a_p bS_p = a_p * aS_p * 2 bP_c = a_c * aP_p + aP_c * a_p bP_p = a_p * aP_p * 2 answer = pn.interval(0.) answer.inf = fractions.Fraction(bP_c, bP_p) answer.sup = fractions.Fraction(bS_c, bS_p) return answer
今回は、代入演算子を用いて区間型を生成した際に、初期値を包含しない区間が発生するのを防ぐ分数区間を生成する。
すなわち
a = 0.1
itv_a = pn.interval(a)
format(itv_a.inf, '.17g')
'0.10000000000000001'
format(itv_a.sup, '.17g')
'0.10000000000000001'
のような区間が発生することを防ぐ。
なお、今回以外の解決方法としては
itv_a.inf = rf.pred(a) itv_a.sup = rf.succ(a)
format(itv_a.inf, '.17g')
'0.099999999999999992'
format(itv_a.sup,'.17g')
'0.10000000000000002'
のようにsucc predを用いることで解決可能である。
しかし、今回のアルゴリズムのほうが、より区間幅を縮小できる。
まず、上位ビットと下位ビットを分離する
aH, aL = rf.split(a)
もし、下位ビットが存在する場合、else文以降の通りにする。
(下位ビットが存在しない浮動小数点数で点区間を生成した場合、元の初期値を包含する区間になる可能性が高い
元の初期値の下位ビットが全て1で、近似の際にくりあがりで下位ビットが消去された場合、おかしくなるかも)
if aL ==0: print(True) answer = pn.interval(a) else: print(False)
False
以下はelseの続き
次にaをsucc predし、as_intger_ratio()で近似分数にする
aS = rf.succ(a) aP = rf.pred(a)
aS_c, aS_p = aS.as_integer_ratio() aP_c, aP_p = aP.as_integer_ratio()
a_c, a_p = a.as_integer_ratio()
次に、aとsuccしたaの中点と、aとpredしたaの中点を求める。
bS_c = a_c * aS_p + aS_c * a_p bS_p = a_p * aS_p * 2 bP_c = a_c * aP_p + aP_c * a_p bP_p = a_p * aP_p * 2
こうして得た、分数bSとbPとaは以下の性質を満たす
浮動小数点数として評価した場合、同値である。
2016-02-01 例外がたくさん発生した
正しくは bP_c / bP_p <= a <= bS_c / bS_p
bS_c / bS_p == a == bP_c / bP_p
True
分数として評価するとbP <= a <= bSが成立する
(以下は、分母と通分するためbS_pやら、a_pがかけられている。今回は bP < a < bSとなっていることをわかりやすくするため、等号の場合は考慮していない)
a <= bS
a_c * bS_p < bS_c * a_p
True
bP <= a
bP_c * a_p < a_c * bP_p
True
よって、分数で評価すると大小関係が存在するが、浮動小数点数で評価すると値が一致する分数区間が得られた
なお、succ predで得られたitv_aと比較すると
rf.pred(a) < bP_c / bP_p
True
bS_c / bS_p < rf.succ(a)
True
となり、succ predよりも狭い区間幅が得られた。
answer = pn.interval(0.)
answer.inf = fractions.Fraction(bP_c, bP_p) answer.sup = fractions.Fraction(bS_c, bS_p)
print(answer)
[14411518807585587/144115188075855872,14411518807585589/144115188075855872]
今回は
- 引数が正の場合しか考慮していない
- float.as_intger_ratio()で得られる分数が、最近点丸めで近似されたaと厳密に同じかどうか考慮していない
- 分数演算の有効桁数に由来する計算誤差を考慮していない(分母、分子ともに巨大な整数になりがちである)
- その後の分数の演算方法を考慮していない(作ったは良いが、使い方を考えていない)
などの問題がある
最後の分数の演算に関しては以下のようにするアイデアがあるが、検証はしていない
